Úvod > Obsah > Kuželosečky > Elipsa

Elipsa

Prostorová definice elipsy Animace tzv. zahradnické konstrukce elipsy

e = {X; |F1X| + |F2X| = 2a, 0 < |F1F2| < 2a} F1,F2 ohniska elipsy
|AB| = 2a délka hlavní osy elipsy
A,B hlavní vrcholy elipsy
Ohnisková definice elipsy o1 = AB hlavní osa elipsy
S střed elipsy
|AS| = a délka hlavní poloosy elipsy
M1,M2,M3,M4 obecné body elipsy (viz níže)
C,D vedlejší vrcholy elipsy (viz níže)
o2 = CD vedlejší osa elipsy
|CS| = b délka vedlejší poloosy elipsy
|F1S| = e excentricita (výstřednost) elipsy
platí: e2 + b2 = a2
přímky F1M2,F2M2 průvodiče bodu M2
ω vnější úhel průvodičů bodu M2
ω s pruhem vnitřní úhel průvodičů bodu M2
t tečna elipsy v bodě M2 (viz Věta 1)
Q bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle tečny t (viz níže)
P pata kolmice spuštěné z ohniska F2 na tečnu t (viz níže)
g1(F1,2a),g2(F2,2a) řídicí kružnice elipsy (viz Věta 2)
v(S,a) vrcholová kružnice elipsy (viz Věta 3)
1,2 středy hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A,C (viz níže)

Obecné body elipsy
Pro bod M1 platí: |F1M1| + |F2M1| = |RB| + |RA| = |AB| = 2a. Podle ohniskové definice tedy bod M1 patří elipse e. Podobně pro body M2,M3,M4. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružítka. (Zpět k obrázku)

Vedlejší vrcholy
Speciálně volbou R = S lze popsaným způsobem získat oba vedlejší vrcholy C,D. Platí pro ně tedy |FiC| = |FiD| = |AS| = a. (Zpět k obrázku)

Bod souměrně sdružený podle tečny s ohniskem
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M2 podle tečny t plyne, že bod Q leží na průvodiči F1M2 a je tedy |F2M2| = |QM2|; tudíž platí: |F1Q| = |F1M2| + |M2Q| = |F1M2| + |M2F2| = 2a; stejný výsledek dostaneme pro kterýkoliv jiný bod elipsy, což shrnuje Věta 2. (Zpět k obrázku)

Pata kolmice spuštěné z ohniska na tečnu
Body S,P jsou po řadě středy úseček F1F2,F2Q, takže úsečka SP tvoří tzv. střední příčku v trojúhelníku F1F2Q a je tedy rovnoběžná se stranou F1Q a pro její délku platí: |SP| = |F1Q| / 2 = a; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z některého ohniska elipsy na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3. (Zpět k obrázku)

Středy hyperoskulačních kružnic
Body 1,2 se setrojí takto: vrcholem E obdélníka ASCE stačí vést kolmici k úhlopříčce AC a určit její průsečíky s hlavní a vedlejší osou elipsy. Často se používá zkrácená konstrukce pomocí kružítka, při níž není třeba sestrojovat úhlopříčku AC: kružnice (A,b) a kružnice (C,a) (tato prochází oběma ohnisky) se protínají ve dvou bodech (jedním z nich je bod E), jejichž spojením lze získat hledanou kolmici k úhlopříčce AC. Sestrojené body 1,2 jsou pak středy tzv. hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A,C (v tomto pořadí). Středy hyperoskulačních kružnic ve zbývajících vrcholech B,D se sestrojí snadno díky souměrnosti elipsy. Oblouky hyperoskulační kružnice v blízkém okolí vrcholů přibližně nahrazují průběh elipsy a slouží tak k jejímu přesnějšímu vyrýsování. (Zpět k obrázku)

Věta 1

Tečna (normála) v bodě elipsy půlí příslušný vnější (vnitřní) úhel průvodičů. (Zpět k obrázku)

Věta 2

Množina všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem elipsy podle jejích tečen je řídicí kružnice elipsy o středu ve druhém ohnisku a poloměru 2a. (Zpět k obrázku)

Věta 3

Množina všech pat kolmic spuštěných z ohnisek elipsy na její tečny je vrcholová kružnice elipsy. (Zpět k obrázku)

Ilustrace k Větám 1 až 3

tažením červeného obdélníku v dolní části obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a přímek...

Ohniskové vlastnosti elipsy popsané ve Větách 2 a 3 se používají při konstrukci tečny daným bodem nebo daného směru...

Bodem X veďte tečny k nenarýsované elipse, která je dána ohnisky a hlavními vrcholy.
Tečna k elipse daným bodem Postup konstrukcí:
  1. g1 ; dle Věty 2 leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na řídicí kružnici g1 (F1,2a)
  2. k ; má-li hledaná tečna procházet bodem X, musí být vzdálenost ohniska F2 a bodu s ním souměrně sdruženého podle hledané tečny od bodu X stejná, proto je třeba sestrojit kružnici k (X,|XF2|)
  3. Q,Q' ; dle 1. a 2. bodu postupu leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na kružnici g1 a na kružnici k, sestrojme tedy jejich průnik - mohou nastat tři případy: dva průsečíky - dvě tečny (bod X leží ve vnější oblasti elipsy), jediný společný bod - jedna tečna (bod X je bodem elipsy), žádný společný bod - žádná tečna (bod X leží ve vnitřní oblasti elipsy)
  4. P,P' ; pata P (P' ) kolmice spuštěné z ohniska F2 na hledanou tečnu je střed úsečky F2Q (F2Q' ), zároveň musí podle Věty 3 body P,P' padnout na vrcholovou kružnici v
  5. t,t' ; t = XP, t' = XP'
  6. T,T' ; bod dotyku T (T' ) je průsečíkem tečny t (t' ) s přímkou F1Q (F1Q' )
K nenarýsované elipse veďte tečny směru s (rovnoběžné s přímkou s).
Tečna k elipse daného směru Postup konstrukcí:
  1. g1; dle Věty 2 leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na řídicí kružnici g1 (F1,2a)
  2. k; je- li znám směr tečny, je znám také směr přímky k ní kolmé, a jestliže takovou kolmici k ke směru s vedeme ohniskem F2, bude na ní ležet i bod souměrně sdružený s tímto ohniskem podle hledané tečny
  3. Q,Q' ; dle 1. a 2. bodu postupu leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na kružnici g1 a na přímce k, sestrojme tedy jejich průnik - vždy existují právě dva průsečíky, tedy dvě tečny daného směru
  4. P,P' ; pata P (P' ) kolmice spuštěné z ohniska F2 na hledanou tečnu je střed úsečky F2Q (F2Q' ), zároveň musí podle Věty 3 body P,P' padnout na vrcholovou kružnici v
  5. t,t' ; t || t' || s a t (t' ) prochází bodem P (P' )
  6. T,T' ; bod dotyku T (T' ) je průsečíkem tečny t (t' ) s přímkou F1Q (F1Q' )

Úvod > Obsah > Kuželosečky > Elipsa
Jiří Doležal
pracovna A834, tel. 597324100
Návštěvní kniha