Úvod > Obsah > Kuželosečky > Hyperbola

Hyperbola

Prostorová definice hyperboly

h = {X; ||F1X| - |F2X|| = 2a, 0 < 2a < |F1F2|} F1,F2 ohniska hyperboly
|AB| = 2a délka hlavní osy hyperboly
A,B hlavní vrcholy hyperboly
Ohnisková definice hyperboly o1 = AB hlavní osa hyperboly
S střed hyperboly
|AS| = a délka hlavní poloosy hyperboly
M1,M2,M3,M4 obecné body hyperboly (viz níže)
|F1S| = e excentricita (výstřednost) hyperboly
b2 = e2 - a2 čtverec délky vedlejší poloosy hyperboly
trojúhelník SAU1 charakteristický trojúhelník hyperboly
u1 = SU1, u2 = SU2 asymptoty hyperboly (viz níže)
o2 vedlejší osa hyperboly
F1M2,F2M2 průvodiče bodu M2
ω vnější úhel průvodičů bodu M2
ω s pruhem vnitřní úhel průvodičů bodu M2
t tečna hyperboly v bodě M2 (viz Věta 1)
Q bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle tečny t (viz níže)
P pata kolmice spuštěné z ohniska F2 na tečnu t (viz níže)
g1(F1,2a),g2(F2,2a) řídicí kružnice hyperboly (viz Věta 2)
v(S,a) vrcholová kružnice hyperboly (viz Věta 3)
1 střed hyperoskulační kružnice ve vrcholu A (viz níže)

Obecné body hyperboly
Pro bod M1 platí: ||F1M1| - |F2M1|| = ||RB| - |RA|| = |AB| = 2a. Podle ohniskové definice tedy bod M1 patří hyperbole h. Podobně pro body M2,M3,M4. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružítka. (Zpět k obrázku)

Asymptoty hyperboly
Jestliže na kolmici k hlavní ose vedené vrcholem A sestrojíme body U1,U2, pro které platí |SU1| = |SU2| = e, získáme spojením těchto bodů se středem S hyperboly tzv. asymptoty u1,u2. Tyto dvě přímky jsou tečnami hyperboly v nekonečnu. Hyperbola se k nim tedy směrem od vrcholů stále přibližuje, avšak dotyk nastává až v jejich nevlastních bodech. Pomocí obou asymptot tak lze lépe znázornit průběh hyperboly bez nutnosti konstrukce dalších bodů. (Zpět k obrázku)

Bod souměrně sdružený podle tečny s ohniskem
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M2 podle tečny t plyne, že bod Q leží na průvodiči F1M2 a je tedy |F2M2| = |QM2|; tudíž platí: |F1Q| = ||F1M2| - |M2Q|| = ||F1M2| - |M2F2|| = 2a; stejný výsledek dostaneme pro kterýkoliv jiný bod hyperboly, což shrnuje Věta 2. (Zpět k obrázku)

Pata kolmice spuštěné z ohniska na tečnu
Body S,P jsou po řadě středy úseček F1F2,F2Q, takže úsečka SP tvoří tzv. střední příčku v trojúhelníku F1F2Q a je tedy rovnoběžná se stranou F1Q a pro její délku platí: |SP| = |F1Q| / 2 = a; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z některého ohniska hyperboly na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3. (Zpět k obrázku)

Střed hyperoskulační kružnice
Bod 1 se setrojí takto: stačí bodem U1 vést komici k asymptotě u1 a určit její průsečík s hlavní osou o1 hyperboly. (Zpět k obrázku)

Věta 1

Tečna (normála) v bodě hyperboly půlí příslušný vnější (vnitřní) úhel průvodičů. (Zpět k obrázku)

Věta 2

Množina všech bodů souměrně sdružených s jedním ohniskem hyperboly podle jejích tečen je řídicí kružnice hyperboly o středu ve druhém ohnisku a poloměru 2a. (Zpět k obrázku)

Věta 3

Množina všech pat kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly na její tečny je vrcholová kružnice hyperboly. (Zpět k obrázku)

Ilustrace k Větám 1 až 3

tažením červeného obdélníku v dolní části obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a přímek...

Ohniskové vlastnosti hyperboly popsané ve Větách 2 a 3 se používají při konstrukci tečny daným bodem nebo daného směru...

Bodem X veďte tečny k nenarýsované hyperbole, která je dána ohnisky a hlavními vrcholy.
Tečna k hyperbole daným bodem Postup konstrukcí:
  1. g1 ; dle Věty 2 leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na řídicí kružnici g1 (F1,2a)
  2. k ; má-li hledaná tečna procházet bodem X, musí být vzdálenost ohniska F2 a bodu s ním souměrně sdruženého podle hledané tečny od bodu X stejná, proto je třeba sestrojit kružnici k (X,|XF2|)
  3. Q,Q' ; dle 1. a 2. bodu postupu leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na kružnici g1 a na kružnici k, sestrojme tedy jejich průnik - mohou nastat tři případy: dva průsečíky - dvě tečny (bod X leží ve vnější oblasti hyperboly), jediný společný bod - jedna tečna (bod X je bodem hyperboly), žádný společný bod - žádná tečna (bod X leží ve vnitřní oblasti hyperboly)
  4. P,P' ; pata P (P') kolmice spuštěné z ohniska F2 na hledanou tečnu je střed úsečky F2Q (F2Q'), zároveň musí podle Věty 3 body P,P' padnout na vrcholovou kružnici v
  5. t,t' ; t = XP, t' = XP'
  6. T,T' ; bod dotyku T (T') je průsečíkem tečny t (t') s přímkou F1Q (F1Q')
K nenarýsované hyperbole veďte tečny směru s (rovnoběžné s přímkou s).
Tečna k hyperbole daného směru Postup konstrukcí:
  1. g1; dle Věty 2 leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na řídicí kružnici g1 (F1,2a)
  2. k; je- li znám směr tečny, je znám také směr přímky k ní kolmé, a jestliže takovou kolmici k ke směru s vedeme ohniskem F2, bude na ní ležet i bod souměrně sdružený s tímto ohniskem podle hledané tečny
  3. Q,Q' ; dle 1. a 2. bodu postupu leží bod souměrně sdružený s ohniskem F2 podle hledané tečny na kružnici g1 a na přímce k, sestrojme tedy jejich průnik - mohou nastat tři možnosti: dva průsečíky - dvě tečny (odchylka přímky s od hlavní osy o1 hyperboly je větší než odchylka asymptot od této osy), jeden společný bod - jedna tečna (, která je zároveň jednou z asymptot a směr s se nazývá asymptotický směr hyperboly), žádný společný bod - žádná tečna (každá přímka takového směru s protne hyperbolu právě ve dvou bodech, z nichž každý leží na jiné její větvi)
  4. P,P' ; pata P (P') kolmice spuštěné z ohniska F2 na hledanou tečnu je střed úsečky F2Q (F2Q'), zároveň musí podle Věty 3 body P,P' padnout na vrcholovou kružnici v
  5. t,t' ; t || t' || s a t (t') prochází bodem P (P')
  6. T,T' ; bod dotyku T (T') je průsečíkem tečny t (t') s přímkou F1Q (F1Q')

Další užitečné konstrukce


Úvod > Obsah > Kuželosečky > Hyperbola
Valid XHTML 1.0!Jiří Doležal
pracovna A834, tel. 597324100
Návštěvní kniha