Úvod > Obsah > Kuželosečky > Parabola

Parabola

Prostorová definice paraboly

p = {X; |FX| = |Xd|, F neleží na d} F ohnisko paraboly
d řídicí přímka paraboly
o - kolmice bodem F k d osa paraboly
Ohnisková definice paraboly p = |Fd| tzv. parametr paraboly
V - půlí vzdálenost mezi F a d vrchol paraboly
v - rovnoběžka s d vrcholem V vrcholová tečna paraboly
M1,M2 obecné body paraboly (viz níže)
FM1, rovnoběžka s o bodem M1 průvodiče bodu M1
ω vnější úhel průvodičů bodu M1
ω s pruhem vnitřní úhel průvodičů bodu M1
t tečna paraboly v bodě M1 (viz Věta 1)
n normála paraboly v bodě M1 (viz Věta 1)
Q bod souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t (viz níže)
P pata kolmice spuštěné z ohniska F na tečnu t (viz níže)
1 střed hyperoskulační kružnice ve vrcholu V (viz níže)
úsečka KR subtangenta bodu M1 (viz Věty 4,5,6)
úsečka RL subnormála bodu M1 (viz Věty 4,5,6)

Obecné body paraboly
Pro bod M1 platí: |FM1| = |Rd| = |M1d|. Podle ohniskové definice tedy bod M1 patří parabole p. Podobně pro bod M2. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružnic o středech v ohnisku a rovnoběžek s řídicí přímkou. (Zpět k obrázku)

Bod souměrně sdružený podle tečny s ohniskem
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M1 podle tečny t plyne, že |QM1| = |FM1| a podle definice paraboly bod Q tedy leží na řídicí přímce d; stejný výsledek dostaneme pro kterýkoliv jiný bod paraboly, což shrnuje Věta 2. (Zpět k obrázku)

Pata kolmice spuštěné z ohniska na tečnu
Bod P je středem úsečky FQ a vrcholová tečna v půlí vzdálenost mezi ohniskem F a řídicí přímkou d - proto musí bod P padnout na přímku v; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z ohniska paraboly na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3. (Zpět k obrázku)

Střed hyperoskulační kružnice
Bod 1 leží na polopřímce VF ve vzdálenosti parametru p od vrcholu V. (Zpět k obrázku)

Věta 1

Tečna (normála) v bodě paraboly půlí příslušný vnější (vnitřní) úhel průvodičů. (Zpět k obrázku)

Věta 2

Množina všech bodů souměrně sdružených s ohniskem paraboly podle jejích tečen je řídicí přímka paraboly. (Zpět k obrázku)

Věta 3

Množina všech pat kolmic spuštěných z ohniska paraboly na její tečny je vrcholová tečna paraboly. (Zpět k obrázku)

Ilustrace k Větám 1 až 3

tažením červeného obdélníku v dolní části obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a přímek...

Ohniskové vlastnosti paraboly popsané ve Větách 2 a 3 se používají při konstrukci tečny daným bodem nebo daného směru...

Bodem X veďte tečny k nenarýsované parabole, která je dána ohniskem a řídicí přímkou.
Tečna k parabole daným bodem Postup konstrukcí:
  1. k ; má-li hledaná tečna procházet bodem X, musí být vzdálenost ohniska F a bodu s ním souměrně sdruženého podle hledané tečny od bodu X stejná, proto je třeba sestrojit kružnici k (X,|XF|)
  2. Q,Q' ; dle Věty 2 a 1. bodu postupu leží bod souměrně sdružený s ohniskem F podle hledané tečny na řídicí přímce d a na kružnici k, sestrojme tedy jejich průnik - mohou nastat tři případy: dva průsečíky - dvě tečny (bod X leží ve vnější oblasti paraboly), jediný společný bod - jedna tečna (bod X je bodem paraboly), žádný společný bod - žádná tečna (bod X leží ve vnitřní oblasti paraboly)
  3. P,P' ; pata P (P' ) kolmice spuštěné z ohniska F na hledanou tečnu je střed úsečky FQ (FQ' ), zároveň musí podle Věty 3 body P,P' padnout na vrcholovou tečnu v
  4. t,t' ; t = XP, t' = XP'
  5. T,T' ; bod dotyku T (T' ) je průsečíkem tečny t (t' ) a rovnoběžky s osou o procházející bodem Q (Q' )
K nenarýsované parabole veďte tečnu směru s (rovnoběžnou s přímkou s).
Tečna k parabole daného směru Postup konstrukcí:
  1. k; je- li znám směr tečny, je znám také směr přímky k ní kolmé, a jestliže takovou kolmici k ke směru s vedeme ohniskem F, bude na ní ležet i bod souměrně sdružený s tímto ohniskem podle hledané tečny
  2. Q ; dle 1. bodu postupu a Věty 2 leží bod souměrně sdružený s ohniskem F podle hledané tečny na přímce k a na řídicí přímce d, sestrojme tedy jejich průnik - mohou nastat dvě možnosti: přímky k,d jsou různoběžné - jedna tečna (směr s není rovnoběžný s osou o), přímky k,d jsou rovnoběžné - žádná tečna (směr s je rovnoběžný s osou o)
  3. P ; pata P kolmice spuštěné z ohniska F na hledanou tečnu je střed úsečky FQ, zároveň musí podle Věty 3 bod P padnout na vrcholovou tečnu v
  4. t ; t || s a t prochází bodem P
  5. T ; bod dotyku T je průsečíkem tečny t a rovnoběžky s osou o jdoucí bodem Q

Následující tři věty se používají při konstrukci paraboly z daných podmínek...

Věta 4

Subtangenta bodu paraboly je půlena jejím vrcholem. (Zpět k obrázku)

Věta 5

Délka subnormály libovolného bodu paraboly je rovna parametru paraboly. (Zpět k obrázku)

Věta 6

Součet subtangenty a subnormály bodu paraboly je půlen jejím ohniskem. (Zpět k obrázku)

Jedna užitečná konstrukce


Úvod > Obsah > Kuželosečky > Parabola
Valid XHTML 1.0!Jiří Doležal
pracovna A834, tel. 597324100
Návštěvní kniha