Afinní vztah kružnice a elipsy

Obrázek - Výklad Výklad

Trojúhelníková a proužkové konstrukce elipsy

Odvození trojúhelníkové a proužkových kcí elipsy (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • pravoúhlá osová afinita mezi kružnicí k a elipsou k' je dána takto: osou o afinity je hlavní osa elipsy k', dvojici odpovídajících si bodů tvoří body C a C'
  • potom lze další body elipsy k' sestrojovat pomocí tzv. trojúhelníkové konstrukce
    • na kružnici k je zvolen bod M
    • M+ je označen průsečík polopřímky SM s kružnicí k+(S,|SC'|)
    • bodem M+ je vedena rovnoběžka s osou o a bodem M kolmice k ose o afinity - jejich průsečík M' je pak bodem elipsy k' (to lze odvodit z vlastností charakteristiky dané osové afinity)
  • součtová proužková konstrukce
    • sestrojený bod M' je spojen se středem O úsečky MM+
    • tato spojnice protíná vedlejší a hlavní osu elipsy k' v bodech 1,2, pro něž platí: |1M'|=|SM|...délka hlavní poloosy, |2M'|=|SM+|...délka vedlejší poloosy
    • kdyby se úsečka 12 (její délka je součtem délek hlavní a vedlejší poloosy) spolu s dělicím bodem M' přenesla na proužek papíru a jím pak bylo pohybováno tak, aby bod 1 jezdil stále po vedlejší resp. bod 2 po hlavní ose elipsy, potom bod M' bude opisovat elipsu k' (viz níže uvedená Ilustrace)
  • rozdílová proužková konstrukce
    • sestrojeným bodem M' je vedena rovnoběžka s přímkou SM
    • ta protne vedlejší a hlavní osu elipsy k' v bodech I,II, pro které platí: |IM'|=|SM|...délka hlavní poloosy, |IIM'|=|SM+|...délka vedlejší poloosy
    • kdyby se úsečka I II (její délka je rozdílem délek hlavní a vedlejší poloosy) spolu s prodloužením do bodu M' nanesla na proužek papíru a jím pak bylo pohybováno tak, aby bod I jezdil stále po vedlejší resp. bod II po hlavní ose elipsy, potom bod M' bude opět opisovat elipsu k' (viz následující Ilustrace)

Ilustrace k trojúhelníkové a proužkovým kcím elipsy

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Užití proužkových konstrukcí

Příklad: Sestrojte vedlejší vrcholy C,D elipsy e, která je dána hlavními vrcholy A,B a obecným bodem M.
Užití proužkových konstrukcí (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: hlavní vrcholy A,B, obecný bod M, doplněny jsou osy o1,o2 a střed S elipsy
  • vedlejší osa o2 je protnuta pomocnou kružnicí, která má střed v bodě M a poloměr délky a=|SA|, v bodech 1,I
  • dále jsou sestrojeny průsečíky 2,II přímek 1M,IM s hlavní osou o1; podle výše uvedených vlastností je délka b=|2M|=|IIM| délkou vedlejší poloosy sestrojované elipsy e
  • stačí už jen na vedlejší ose o2 doplnit vrcholy C,D, kde |SC|=|SD|=b, a vyrýsovat elipsu e
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení

Obrázek - Výklad Výklad

Sdružené průměry kružnice a elipsy

Sdružené průměry kružnice a elipsy (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)

Příčková konstrukce bodů kružnice a elipsy

Příčková kce bodů kružnice a elipsy (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)

Rytzova konstrukce

Odvození Rytzovy kce (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • kružnice k a elipsa k' si odpovídají v pravoúhlé osové afinitě, jejíž osou o je hlavní osa elipsy a v níž se bod C zobrazí na bod C'
  • je zvolena dvojice kolmých (a tedy i sdružených) průměrů KL,MN kružnice k a pomocí trojúhelníkové konstrukce jsou sestrojeny odpovídající sdružené průměry K'L',M'N' elipsy k'
  • je-li trojúhelník MM'M+ doplněn bodem M~ na obdélník, pak platí: přímka SM~ je kolmá k průměru K'L' a střed O obdélníka MM'M+M~ je stejně daleko od bodů S,1,2
  • na základě těchto vztahů lze odvodit tzv. Rytzovu konstrukci, jejíž použití je předvedeno na následujícím příkladě

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte hlavní a vedlejší vrcholy elipsy k', která je dána dvojicí sdružených průměrů K'L',M'N'.
Užití Rytzovy kce (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: sdružené průměry K'L',M'N' elipsy k' (pro lepší orientaci a porozumění je ponecháno označení z předchozího obrázku)
  • bod K' je otočen o 90° kolem středu S' do bodu M~
  • kolem středu O úsečky M'M~ je opsána pomocná kružnice, která prochází bodem S', a ta protne přímku M'M~ v bodech 1,2
  • přímky 1S',2S' jsou vedlejší a hlavní osou elipsy k' (hlavní osa leží vždy v ostrém úhlu sevřeném oběma danými sdruženými průměry); délku hlavní resp. vedlejší poloosy udává (podle součtové proužkové konstrukce) velikost úsečky 1M' resp. 2M'
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení

PDF dokument, 8 stran formátu A4, asi 221 kB
Verze pro tisk
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
Nutný plug-in (zdarma; anglicky v novém okně)