Parabola

Obrázek - Výklad Výklad

Definice a ohniskové vlastnosti

Prostorová definice

Ohnisková definice paraboly: p = { X; |Xd| = |FX|, F neleží na d }
Ohnisková definice a vlastnosti paraboly (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • F ... ohnisko; d ... řídicí přímka; o ... osa; vzdálenost |Fd| ... parametr paraboly
  • V ... vrchol (střed úsečky FD); v ... vrcholová tečna
  • M1,M2 ... obecné body paraboly
  • přímka FM1 a rovnoběžka s osou bodem M1 ... průvodiče bodu M1; úhel ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnější úhel průvodičů; úhel_ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnitřní úhel průvodičů
  • t ... tečna, n ... normála v bodě M1 (Věta 1); úsečka KR ... subtangenta, úsečka LR ... subnormála bodu M1 (Věta 4, Věta 5, Věta 6)
  • Q ... bod souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t (Věta 2); P ... pata kolmice spuštěné z ohniska F na tečnu t (Věta 3)
  • 1 ... střed hyperoskulační kružnice ve vrcholu V; platí |1V|=|FD|
  • parabola p
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední

Obecné body paraboly
Pro bod M1 platí: |FM1| = |Rd| = |M1d|. Podle ohniskové definice tedy bod M1 patří parabole p. Podobně pro bod M2. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružnic o středech v ohnisku a rovnoběžek s řídicí přímkou.

Bod souměrně sdružený podle tečny s ohniskem
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M1 podle tečny t plyne, že |QM1| = |FM1| a podle definice paraboly bod Q tedy leží na řídicí přímce d; stejný výsledek dostaneme pro kterýkoliv jiný bod paraboly, což shrnuje Věta 2.

Pata kolmice spuštěné z ohniska na tečnu
Bod P je středem úsečky FQ a vrcholová tečna v půlí vzdálenost mezi ohniskem F a řídicí přímkou d - proto musí bod P padnout na přímku v; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z ohniska paraboly na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3.

Střed hyperoskulační kružnice
Bod 1 leží na polopřímce VF ve vzdálenosti parametru |Fd| od vrcholu V.

Subtangenta a subnormála bodu paraboly
Lze ukázat, že bod P je středem úsečky KM1; jestliže jsou body P,M1 promítnuty kolmo na osu o, padnou do vrcholu V a do pomocného bodu R; vrchol V je tedy středem úsečky KR, tj. subtangenty bodu M1, obecně je toto tvrzení vysloveno ve Větě 4. Analogicky se body P,M1 promítnou směrem normály n na osu o do bodů F,L a ohnisko F je tak středem úsečky KL, tj. součtu subtangenty a subnormály bodu M1, obecně viz Věta 5. Trojúhelníky DFQ,RLM1 jsou shodné, tudíž platí |LR|=|FD|=|Fd|, tj. délka subnormály bodu M1 je rovna parametru paraboly; tuto vlastnost obecně popisuje Věta 6.

Věta 1

Tečna (normála) v bodě paraboly půlí příslušný vnější (vnitřní) úhel průvodičů.

Věta 2

Množina všech bodů souměrně sdružených s ohniskem paraboly podle jejích tečen je řídicí přímka paraboly.

Věta 3

Množina všech pat kolmic spuštěných z ohniska paraboly na její tečny je vrcholová tečna paraboly.

Věta 4

Subtangenta bodu paraboly (vyjma vrcholu) je půlena jejím vrcholem.

Věta 5

Součet subtangenty a subnormály bodu paraboly (vyjma vrcholu) je půlen jejím ohniskem.

Věta 6

Délka subnormály libovolného bodu paraboly (vyjma jejího vrcholu) je rovna parametru paraboly.

Ilustrace k Větám 1 až 3

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Tečny k parabole daným bodem

Příklad: Bodem X veďte tečny k nenarýsované parabole p, která je dána ohniskem a řídicí přímkou.
Tečny z bodu k parabole (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: ohnisko F, řídicí přímka d a bod X
  • podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F podle hledaných tečen na řídicí přímce d; současně musí mít od bodu X vzdálenost |FX|, a leží tudíž také na kružnici k(X,|FX|)
  • kružnice k protíná řídicí přímku d v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček FQ,FQ' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F na hledané tečny; podle Věty 3 musí body P,P' padnout na vrcholovou tečnu v
  • nyní již je možno sestrojit tečny t=XP,t'=XP' k nenarýsované parabole p
  • podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích vedených body Q,Q' rovnoběžně s osou o a na příslušných tečnách t,t'
  • na závěr je sestrojen oblouk hyperoskulační kružnice ve vrcholu V a vyrýsována parabola p, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež procházejí daným bodem X
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Pokud kružnice k(X,|XF|) protíná řídicí přímku d ve dvou bodech, resp. se jí dotýká v jednom bodě, resp. s ní nemá žádný společný bod, pak bod X leží ve vnější oblasti paraboly p, resp. bod X je bodem paraboly p, resp. bod X leží ve vnitřní oblasti paraboly p, a lze jím vést dvě různé tečny, resp. jedinou (dvojnásobnou) tečnu, resp. jím nelze vést žádnou tečnu k dané parabole p.

Tečny k parabole daného směru

Příklad: K nenarýsované parabole p, která je dána ohniskem a řídicí přímkou, veďte tečny směru s (tj. rovnoběžné s přímkou s).
Tečny směrem k parabole (kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně)
  • zadání: ohnisko F, řídicí přímka d a směr s
  • podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F podle hledaných tečen na řídicí přímce d; současně musí ležet také na kolmici k vedené ohniskem F kolmo k danému směru s
  • přímky d,k se protínají v bodě Q a střed P úsečky FQ je pata kolmice spuštěné z ohniska F na hledanou tečnu; podle Věty 3 padne bod P na vrcholovou tečnu v
  • nyní již je možno vést tečnu t bodem P kolmo k přímce k, tj. rovnoběžně se směrem s
  • podle výše uvedených vlastností leží bod T dotyku na průvodiči vedeném bodem Q rovnoběžně s osou o a na tečně t
  • na závěr je sestrojen oblouk hyperoskulační kružnice ve vrcholu V a vyrýsována parabola p, která se v bodě T dotýká tečny t, jež je rovnoběžná s daným směrem s
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
Jsou-li řídicí přímka d a přímka k vedená ohniskem F kolmo k danému směru s různoběžné, resp. rovnoběžné, pak lze sestrojit právě jednu tečnu, resp. nelze sestrojit žádnou tečnu paraboly p daného směru s.
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 22 stran formátu A4, asi 289 kB
Verze pro tisk