Množiny všech bodů dané vlastnosti - řešená úloha

Apolloniova úloha ppp

Obrázek - Řešené úlohy Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte kružnici, která se dotýká tří daných navzájem různých přímek a,b,c.
Rozbor úlohy:
rozbor úlohy [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • úloha je vyřešena, tj. kružnice k(S,r) se dotýká tří navzájem různých přímek a,b,c
  • pro vzdálenost středu S od přímek a,b,c, platí |Sa|=|Sb|=|Sc|=r
  • podle M4 musí tedy střed S kružnice k ležet současně na ose příslušného úhlu sevřeného přímkami a,b, na ose příslušného úhlu sevřeného přímkami a,c i na ose příslušného úhlu sevřeného přímkami b,c, tj. kružnice k je tzv. vepsaná trojúhelníku ABC
První
Krok zpět
Krok vpřed
Poslední
Konstrukce (dosti náročná na přesnost rýsování):
konstrukce [kliknutím otevřete PDF obrázek v samostatném okně]
  • zadání: tři navzájem různé přímky a,b,c
  • přímky a,b se protínají v bodě C a v něm jsou sestrojeny osy o14 a o23 úhlů přímkami a,b sevřených
  • totéž jako v předchozím kroku je provedeno i v průsečíku B resp. A přímek a,c resp. b,c
  • průsečíky S1,S2,S3,S4 právě sestrojených os mají stejnou vzdálenost od všech tří daných přímek a,b,c a jsou to tedy středy hledaných kružnic
  • kružnice k1(S1,r1) je tzv. vepsaná trojúhelníku ABC
  • kružnice k2(S2,r2) je tzv. připsaná ke straně a trojúhelníka ABC
  • kružnice k3(S3,r3) je tzv. připsaná ke straně b trojúhelníka ABC
  • kružnice k4(S4,r4) je tzv. připsaná ke straně c trojúhelníka ABC
Zadání
Krok zpět
Krok vpřed
Řešení
Diskuze:
V obecném případě má úloha právě čtyři řešení; jsou-li dvě z přímek a,b,c rovnoběžné a třetí je s nimi různoběžná, má tato úloha právě dvě řešení (pro rovnoběžky se sestrojí osa pásu jimi určeného - viz množina M3); jsou-li všechny tři dané přímky a,b,c rovnoběžné, nemá úloha žádné řešení (osy příslušných pásů jsou také rovnoběžné).
Zpracoval: Jiří Doležal
Návštěvní kniha
PDF dokument, 10 stran formátu A4, asi 151 kB
Verze pro tisk