Úvod do promítání

Výklad

nevlastní bod určen soustavou navzájem rovnoběžných přímek (směrem) "bod v nekonečnu" "průsečík rovnoběžek" nevlastní přímka určena soustavou navzájem rovnoběžných rovin (dvojsměrem) "přímka v nekonečnu" "průsečnice rovnoběžných rovin" přitom se zachovává incidence, jak naznačuje obrázek
nevlastní rovina souhrn všech nevlastních bodů a přímek v 3D je jediná vlastní + nevlastní útvary → tzv. rozšířený geometrický prostor příklad užití: válcová plocha je kuželová plocha s nevlastním vrcholem...

je dána vlastní rovina π, tzv. průmětna, a vlastní bod S, tzv. střed promítání, který neleží v průmětně π
nechť bod A je bodem rozšířeného prostoru (tj. může být vlastní i nevlastní) různým od středu S promítání; přímka s^A=SA, tzv. promítací přímka bodu A, protíná průmětnu π v bodě A' (ten může být také vlastní i nevlastní - zajímavý námět k promyšlení), který je pak středovým průmětem bodu A v daném středovém promítání
vlastnosti
- průmětem bodu je bod
- průmětem přímky je přímka nebo bod
- průmětem roviny je celá průmětna nebo přímka
- zachovává se incidence (náležení)
- obecně se nezachová rovnoběžnost, střed úsečky, délka úsečky, velikost úhlu, a tedy ani kolmost

nechť přímka p' je středovým průmětem přímky p, která je různoběžná s průmětnou π, přičemž středem promítání je bod S
- průsečík P přímky p s průmětnou π se nazývá stopník přímky p; bod P splývá se svým průmětem P'=P
- středovým průmětem nevlastního bodu U^∞ přímky p je tzv. úběžník U' přímky p
- naopak, bod V na přímce p, jehož středovým průmětem je nevlastní bod V'^∞ přímky p', se nazývá protiúběžník přímky p
analogicky se zavádí pojmy stopa, úběžnice a protiúběžnice v případě středového promítání roviny, která je různoběžná s průmětnou

jedná se o zobrazení, které je speciálním případem středového promítání, a sice bodů z jedné roviny do roviny druhé
střed S promítání je současně středem kolineace, průsečnice o (může být i nevlastní) daných rovin α,α' je tzv. osa kolineace
vlastnosti
- odpovídající si body (např. A,A' nebo B,B') leží na přímkách, které procházejí středem S kolineace
- odpovídající si přímky (p=AB,p'=A'B') se protínají na ose o kolineace v tzv. samodružných bodech (R=R')
- jinak se přenášejí všechny ostatní vlastnosti středového promítání

zobrazení v rovině, které lze získat vhodným průmětem (lhostejno zda středovým či rovnoběžným) středové kolineace mezi dvěma rovinami do dané třetí roviny
základní pojmy a vlastnosti se přenášejí
- středová kolineace v rovině je nejčastěji dána svým středem S, osou o a jednou dvojicí odpovídajících si bodů A,A'
- odpovídající si body leží na přímkách, které procházejí středem S kolineace
- odpovídající si přímky se protínají na ose o kolineace v tzv. samodružných bodech

Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte obraz B' bodu B ve středové kolineaci dané středem S, osou o a dvojicí odpovídajících si bodů A,A'.

Výklad

je dána vlastní rovina π, tzv. průmětna, a směr s, tzv. směr promítání, který není s průmětnou π rovnoběžný (směr s vlastně určuje nevlastní bod S^∞, který v π neleží, tj. rovnoběžné promítání je středové promítání s nevlastním středem)
nechť bod A je vlastním bodem rozšířeného prostoru; přímka s^A, která prochází bodem A rovnoběžně se směrem s promítání, je tzv. promítací přímka bodu A a protíná průmětnu π v bodě A', který je pak rovnoběžným průmětem bodu A v daném rovnoběžném promítání
vlastnosti
- průmětem bodu je bod
- průmětem přímky je přímka nebo bod
- průmětem roviny je celá průmětna nebo přímka
- zachovává se incidence (náležení), rovnoběžnost, střed úsečky
- obecně se nezachová délka úsečky, velikost úhlu, a tedy ani kolmost

jedná se o zobrazení, které je speciálním případem rovnoběžného promítání, a sice bodů z jedné roviny do roviny druhé
směr s promítání je současně směrem afinity, průsečnice o (může být i nevlastní) daných rovin α,α' je tzv. osa afinity
vlastnosti
- odpovídající si body (např. A,A' nebo B,B') leží na přímkách, které jsou rovnoběžné se směrem s afinity
- odpovídající si přímky (p=AB,p'=A'B') se protínají na ose o afinity v tzv. samodružných bodech (R=R')
- jinak se přenášejí všechny ostatní vlastnosti rovnoběžného promítání

zobrazení v rovině, které lze získat vhodným rovnoběžným průmětem osové afinity mezi dvěma rovinami do dané třetí roviny
základní pojmy a vlastnosti se přenášejí
- osová afinita v rovině je nejčastěji dána svým směrem s, osou o a jednou dvojicí odpovídajících si bodů A,A'; je-li směr s kolmý k ose o, nazývá se taková afinita pravoúhlá; je-li s || o, jde o tzv. elaci
- odpovídající si body leží na přímkách, které jsou rovnoběžné se směrem s afinity
- odpovídající si přímky se protínají na ose o afinity v tzv. samodružných bodech

Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte obraz B' bodu B v osové afinitě dané směrem s, osou o a dvojicí odpovídajících si bodů A,A'.

Výklad

směr promítání kolmý k průmětně (jedná se tedy o speciální případ rovnoběžného promítání)
zachovávají se všechny vlastnosti rovnoběžného promítání a navíc lze dokázat tzv. Větu o pravoúhlém průmětu pravého úhlu

a,b jsou kolmé, a rovnoběžná s π, b není kolmá k π (a,b mohou být i mimoběžné) → průměty a',b' jsou také kolmé

	π ... půdorysna ν ... nárysna μ ... bokorysna A₁,A₂,A₃ ... půdorys, nárys, bokorys bodu A x_A,y_A,z_A ... x-ová, y-ová, z-ová souřadnice bodu A
tzv. levotočivý pravoúhlý souřadnicový systém

Verze pro tisk