• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Afinní vztah kružnice a elipsy

 Výklad

• rovnoběžným průmětem kružnice do roviny je v obecném případě elipsa; speciálně se může kružnice promítnout do kružnice nebo do úsečky
• daná kružnice k a její rovnoběžný průmět - elipsa k' - si odpovídají v prostorové osové afinitě mezi rovinami obou křivek; rovnoběžným průmětem této prostorové osové afinity do nějaké roviny ρ je osová afinita v této rovině ρ
• na základě tohoto afinního vztahu mezi kružnicí a elipsou lze odvodit některé užitečné konstrukce elipsy

Trojúhelníková a proužkové konstrukce elipsy

pravoúhlá osová afinita mezi kružnicí k a elipsou k' je dána takto: osou o afinity je hlavní osa elipsy k', dvojici odpovídajících si bodů tvoří body C a C' potom lze další body elipsy k' sestrojovat pomocí tzv. trojúhelníkové konstrukce na kružnici k je zvolen bod M M+ je označen průsečík polopřímky SM s kružnicí k+(S,|SC'|) bodem M+ je vedena rovnoběžka s osou o a bodem M kolmice k ose o afinity - jejich průsečík M' je pak bodem elipsy k' (to lze odvodit z vlastností charakteristiky dané osové afinity) součtová proužková konstrukce sestrojený bod M' je spojen se středem O úsečky MM+ tato spojnice protíná vedlejší a hlavní osu elipsy k' v bodech 1,2, pro něž platí: |1M'|=|SM|...délka hlavní poloosy, |2M'|=|SM+|...délka vedlejší poloosy kdyby se úsečka 12 (její délka je součtem délek hlavní a vedlejší poloosy) spolu s dělicím bodem M' přenesla na proužek papíru a jím pak bylo pohybováno tak, aby bod 1 jezdil stále po vedlejší resp. bod 2 po hlavní ose elipsy, potom bod M' bude opisovat elipsu k' (viz níže uvedená Ilustrace) rozdílová proužková konstrukce sestrojeným bodem M' je vedena rovnoběžka s přímkou SM ta protne vedlejší a hlavní osu elipsy k' v bodech I,II, pro které platí: |IM'|=|SM|...délka hlavní poloosy, |IIM'|=|SM+|...délka vedlejší poloosy kdyby se úsečka I II (její délka je rozdílem délek hlavní a vedlejší poloosy) spolu s prodloužením do bodu M' nanesla na proužek papíru a jím pak bylo pohybováno tak, aby bod I jezdil stále po vedlejší resp. bod II po hlavní ose elipsy, potom bod M' bude opět opisovat elipsu k' (viz následující Ilustrace)

Ilustrace k trojúhelníkové a proužkovým kcím elipsy

• tažením červeného obdélníku v dolní části interaktivního obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a úseček; kliknutím na některý ze symbolů vpravo (trojúhelník, + a -) lze některé body a úsečky skrýt nebo znovu zobrazit...

 Řešené úlohy

Užití proužkových konstrukcí

Příklad: Sestrojte vedlejší vrcholy C,D elipsy e, která je dána hlavními vrcholy A,B a obecným bodem M.
	zadání: hlavní vrcholy A,B, obecný bod M, doplněny jsou osy o1,o2 a střed S elipsy vedlejší osa o2 je protnuta pomocnou kružnicí, která má střed v bodě M a poloměr délky a=|SA|, v bodech 1,I dále jsou sestrojeny průsečíky 2,II přímek 1M,IM s hlavní osou o1; podle výše uvedených vlastností je délka b=|2M|=|IIM| délkou vedlejší poloosy sestrojované elipsy e stačí už jen na vedlejší ose o2 doplnit vrcholy C,D, kde |SC|=|SD|=b, a vyrýsovat elipsu e

 Výklad

Sdružené průměry kružnice a elipsy

• dva průměry kružnice nebo elipsy se nazývají sdružené, právě když tečny v krajních bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem
• sdruženost průměrů se rovnoběžným promítáním a tedy i osovou afinitou zachovává
• u kružnice jsou každé dva sdružené průměry současně navzájem kolmé
• u elipsy existuje jediná dvojice sdružených a současně kolmých průměrů - na hlavní a vedlejší ose

Příčková konstrukce bodů kružnice a elipsy

• kružnice
• KL a MN jsou dva sdružené průměry dané kružnice k(S,r)
• tečny kružnice k v bodech K a N nechť se protínají v bodě R
• úsečky NR a NS jsou rozděleny na stejný počet stejných dílů (v obrázku na čtvrtiny)
• dělicí body na úsečce NR resp. NS jsou spojeny příčkami s bodem K resp. L
• poměrně snadno lze odvodit, že odpovídající si příčky se protínají pod pravými úhly, a dle Thaletovy věty tedy příslušné průsečíky leží na dané kružnici k
• elipsa
• výše uvedená konstrukce pro kružnici je založena pouze na vlastnostech sdružených průměrů a na dělení úsečky v daném poměru
• rovnoběžným promítáním nebo osovou afinitou ji lze tedy snadno aplikovat i na elipsu, která je dána právě sdruženými průměry

Rytzova konstrukce

• ukazuje, jak lze sestrojit hlavní a vedlejší vrcholy elipsy, která je dána pomocí dvojice svých sdružených průměrů

kružnice k a elipsa k' si odpovídají v pravoúhlé osové afinitě, jejíž osou o je hlavní osa elipsy a v níž se bod C zobrazí na bod C' je zvolena dvojice kolmých (a tedy i sdružených) průměrů KL,MN kružnice k a pomocí trojúhelníkové konstrukce jsou sestrojeny odpovídající sdružené průměry K'L',M'N' elipsy k' je-li trojúhelník MM'M+ doplněn bodem M~ na obdélník, pak platí: přímka SM~ je kolmá k průměru K'L' a střed O obdélníka MM'M+M~ je stejně daleko od bodů S,1,2 na základě těchto vztahů lze odvodit tzv. Rytzovu konstrukci, jejíž použití je předvedeno na následujícím příkladě

 Řešené úlohy

Příklad: Sestrojte hlavní a vedlejší vrcholy elipsy k', která je dána dvojicí sdružených průměrů K'L',M'N'.
	zadání: sdružené průměry K'L',M'N' elipsy k' (pro lepší orientaci a porozumění je ponecháno označení z předchozího obrázku) bod K' je otočen o 90° kolem středu S' do bodu M~ kolem středu O úsečky M'M~ je opsána pomocná kružnice, která prochází bodem S', a ta protne přímku M'M~ v bodech 1,2 přímky 1S',2S' jsou vedlejší a hlavní osou elipsy k' (hlavní osa leží vždy v ostrém úhlu sevřeném oběma danými sdruženými průměry); délku hlavní resp. vedlejší poloosy udává (podle součtové proužkové konstrukce) velikost úsečky 1M' resp. 2M'

Verze pro tisk

• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >