• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Parabola

 Výklad

Definice a ohniskové vlastnosti

• parabola je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina má takovou polohu, že rovina s ní rovnoběžná jdoucí vrcholem se dotýká kuželové plochy podél jedné její povrchové přímky (nebo jinak: odchylka roviny řezu od osy je rovna odchylce povrchových přímek)
• parabola p je množinou všech bodů v dané rovině ρ, jež mají stejnou vzdálenost od dané přímky d a od daného bodu F, který na přímce d neleží

Ohnisková definice paraboly: p = { X; |Xd| = |FX|, F neleží na d }
	F ... ohnisko; d ... řídicí přímka; o ... osa; vzdálenost |Fd| ... parametr paraboly V ... vrchol (střed úsečky FD); v ... vrcholová tečna M1,M2 ... obecné body paraboly přímka FM1 a rovnoběžka s osou bodem M1 ... průvodiče bodu M1; úhel ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnější úhel průvodičů; úhel_ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnitřní úhel průvodičů t ... tečna, n ... normála v bodě M1 (Věta 1); úsečka KR ... subtangenta, úsečka LR ... subnormála bodu M1 (Věta 4, Věta 5, Věta 6) Q ... bod souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t (Věta 2); P ... pata kolmice spuštěné z ohniska F na tečnu t (Věta 3) 1 ... střed hyperoskulační kružnice ve vrcholu V; platí |1V|=|FD| parabola p

Obecné body paraboly
Pro bod M₁ platí: |FM₁| = |Rd| = |M₁d|. Podle ohniskové definice tedy bod M₁ patří parabole p. Podobně pro bod M₂. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružnic o středech v ohnisku a rovnoběžek s řídicí přímkou.

Bod souměrně sdružený podle tečny s ohniskem
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M₁ podle tečny t plyne, že |QM₁| = |FM₁| a podle definice paraboly bod Q tedy leží na řídicí přímce d; stejný výsledek dostaneme pro kterýkoliv jiný bod paraboly, což shrnuje Věta 2.

Pata kolmice spuštěné z ohniska na tečnu
Bod P je středem úsečky FQ a vrcholová tečna v půlí vzdálenost mezi ohniskem F a řídicí přímkou d - proto musí bod P padnout na přímku v; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z ohniska paraboly na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3.

Střed hyperoskulační kružnice
Bod 1 leží na polopřímce VF ve vzdálenosti parametru |Fd| od vrcholu V.

Subtangenta a subnormála bodu paraboly
Lze ukázat, že bod P je středem úsečky KM₁; jestliže jsou body P,M₁ promítnuty kolmo na osu o, padnou do vrcholu V a do pomocného bodu R; vrchol V je tedy středem úsečky KR, tj. subtangenty bodu M₁, obecně je toto tvrzení vysloveno ve Větě 4. Analogicky se body P,M₁ promítnou směrem normály n na osu o do bodů F,L a ohnisko F je tak středem úsečky KL, tj. součtu subtangenty a subnormály bodu M₁, obecně viz Věta 5. Trojúhelníky DFQ,RLM₁ jsou shodné, tudíž platí |LR|=|FD|=|Fd|, tj. délka subnormály bodu M₁ je rovna parametru paraboly; tuto vlastnost obecně popisuje Věta 6.

Věta 1

Věta 2

Věta 3

Věta 4

Věta 5

Věta 6

Ilustrace k Větám 1 až 3

• tažením červeného obdélníku v dolní části interaktivního obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a přímek...

 Řešené úlohy

Tečny k parabole daným bodem

Příklad: Bodem X veďte tečny k nenarýsované parabole p, která je dána ohniskem a řídicí přímkou.
	zadání: ohnisko F, řídicí přímka d a bod X podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F podle hledaných tečen na řídicí přímce d; současně musí mít od bodu X vzdálenost |FX|, a leží tudíž také na kružnici k(X,|FX|) kružnice k protíná řídicí přímku d v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček FQ,FQ' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F na hledané tečny; podle Věty 3 musí body P,P' padnout na vrcholovou tečnu v nyní již je možno sestrojit tečny t=XP,t'=XP' k nenarýsované parabole p podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích vedených body Q,Q' rovnoběžně s osou o a na příslušných tečnách t,t' na závěr je sestrojen oblouk hyperoskulační kružnice ve vrcholu V a vyrýsována parabola p, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež procházejí daným bodem X
Diskuze: Pokud kružnice k(X,|XF|) protíná řídicí přímku d ve dvou bodech, resp. se jí dotýká v jednom bodě, resp. s ní nemá žádný společný bod, pak bod X leží ve vnější oblasti paraboly p, resp. bod X je bodem paraboly p, resp. bod X leží ve vnitřní oblasti paraboly p, a lze jím vést dvě různé tečny, resp. jedinou (dvojnásobnou) tečnu, resp. jím nelze vést žádnou tečnu k dané parabole p.

Tečny k parabole daného směru

Příklad: K nenarýsované parabole p, která je dána ohniskem a řídicí přímkou, veďte tečny směru s (tj. rovnoběžné s přímkou s).
	zadání: ohnisko F, řídicí přímka d a směr s podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F podle hledaných tečen na řídicí přímce d; současně musí ležet také na kolmici k vedené ohniskem F kolmo k danému směru s přímky d,k se protínají v bodě Q a střed P úsečky FQ je pata kolmice spuštěné z ohniska F na hledanou tečnu; podle Věty 3 padne bod P na vrcholovou tečnu v nyní již je možno vést tečnu t bodem P kolmo k přímce k, tj. rovnoběžně se směrem s podle výše uvedených vlastností leží bod T dotyku na průvodiči vedeném bodem Q rovnoběžně s osou o a na tečně t na závěr je sestrojen oblouk hyperoskulační kružnice ve vrcholu V a vyrýsována parabola p, která se v bodě T dotýká tečny t, jež je rovnoběžná s daným směrem s
Diskuze: Jsou-li řídicí přímka d a přímka k vedená ohniskem F kolmo k danému směru s různoběžné, resp. rovnoběžné, pak lze sestrojit právě jednu tečnu, resp. nelze sestrojit žádnou tečnu paraboly p daného směru s.

• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Verze pro tisk