• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Elipsa

 Výklad

Definice a ohniskové vlastnosti

• elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose rotační kuželové plochy a rovina s ní rovnoběžná jdoucí vrcholem má s kuželovou plochou společný pouze vrchol (nebo jinak: odchylka roviny řezu od osy je větší než odchylka povrchových přímek)
• elipsa e je množinou všech bodů v dané rovině ρ, jejichž součet vzdáleností od dvou různých pevných bodů F₁, F₂ je roven danému číslu 2a, které je větší než vzdálenost bodů F₁,F₂

Ohnisková definice elipsy: e = { X; |F1X| + |F2X| = 2a, 0 < |F1F2| < 2a }
	F1,F2 ... ohniska; A,B ... hlavní vrcholy; S ... střed; o1 ... hlavní osa; platí |AB|=2a>|F1F2|>0; a=|SA| ... délka hlavní poloosy M1,M2,M3,M4 ... obecné body elipsy C,D ... vedlejší vrcholy; o2 ... vedlejší osa; platí a2=e2+b2, kde b=|SC| je délka vedlejší poloosy a e=|SF1| je excentricita elipsy přímky F1M2,F2M2 ... průvodiče bodu M2; úhel ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnější úhel průvodičů; úhel_ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnitřní úhel průvodičů t ... tečna, n ... normála v bodě M2 (Věta 1) Q1,Q2 ... body souměrně sdružené s ohnisky podle tečny t (Věta 2); P1,P2 ... paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu t (Věta 3) g1(F1,2a),g2(F2,2a) ... řídicí kružnice; v(S,a) ... vrcholová kružnice 1,2 ... středy hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A,C elipsa e

Obecné body elipsy
Pro bod M₁ platí: |F₁M₁| + |F₂M₁| = |RB| + |RA| = |AB| = 2a. Podle ohniskové definice tedy bod M₁ patří elipse e. Podobně pro body M₂,M₃,M₄. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružítka.

Vedlejší vrcholy
Speciálně volbou R = S lze popsaným způsobem získat oba vedlejší vrcholy C,D. Platí pro ně tedy |F₁C| = |F₂C| = |F₁D| = |F₂D| = |AS| = a.

Body souměrně sdružené podle tečen s ohnisky
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M₂ podle tečny t (Věta 1) plyne, že bod Q₁ resp. Q₂ leží na průvodiči F₁M₂ resp. F₂M₂ a je tedy |F₂M₂| = |Q₁M₂| resp. |F₁M₂| = |Q₂M₂|; tudíž platí: |F₁Q₁| = |F₁M₂| + |M₂Q₁| = |F₁M₂| + |M₂F₂| = 2a resp. |F₂Q₂| = |F₂M₂| + |M₂Q₂| = |F₂M₂| + |M₂F₁| = 2a; stejný výsledek vyjde pro kterýkoliv jiný bod elipsy, což shrnuje Věta 2.

Paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečny
Body S,P₁ jsou po řadě středy úseček F₁F₂,F₂Q₁, takže úsečka SP₁ tvoří tzv. střední příčku v trojúhelníku F₁F₂Q₁, je tedy rovnoběžná se stranou F₁Q₁ a pro její délku platí: |SP₁| = |F₁Q₁| / 2 = a; analogicky lze odvodit |SP₂| = |F₂Q₂| / 2 = a; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z některého ohniska elipsy na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3.

Středy hyperoskulačních kružnic
Body 1,2 se setrojí takto: vrcholem E obdélníka ASCE stačí vést kolmici k úhlopříčce AC a určit její průsečíky s hlavní a vedlejší osou elipsy. Často se používá zkrácená konstrukce pomocí kružítka, při níž není třeba sestrojovat úhlopříčku AC: kružnice (A,b) a kružnice (C,a) (tato prochází oběma ohnisky) se protínají ve dvou bodech (jedním z nich je bod E), jejichž spojením lze získat hledanou kolmici k úhlopříčce AC. Sestrojené body 1,2 jsou pak středy tzv. hyperoskulačních kružnic ve vrcholech A,C (v tomto pořadí). Středy hyperoskulačních kružnic ve zbývajících vrcholech B,D se sestrojí snadno díky souměrnosti elipsy. Oblouky hyperoskulačních kružnic v blízkém okolí vrcholů přibližně nahrazují průběh elipsy a slouží tak k jejímu přesnějšímu vyrýsování.

Věta 1

Věta 2

Věta 3

Ilustrace k Větám 1 až 3

• tažením červeného obdélníku v dolní části interaktivního obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a přímek...

 Řešené úlohy

Tečny k elipse daným bodem

Příklad: Bodem X veďte tečny k nenarýsované elipse e, která je dána hlavními a vedlejšími vrcholy.
	zadání: hlavní vrcholy A,B, vedlejší vrcholy C,D a bod X nejprve jsou doplněna ohniska F1,F2, pro něž platí |F1C|=|F2C|=a=|SA| podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí mít od bodu X vzdálenost |F2X|, a leží tudíž také na kružnici k(X,|F2X|) kružnice g1,k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a) nyní již je možno sestrojit tečny t=XP,t'=XP' k nenarýsované elipse e podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t' na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována elipsa e, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež procházejí daným bodem X
Diskuze: Pokud se kružnice g1(F1,2a),k(X,|XF2|) protínají ve dvou bodech, resp. se dotýkají v jednom bodě, resp. nemají žádný společný bod, pak bod X leží ve vnější oblasti elipsy e, resp. bod X je bodem elipsy e, resp. bod X leží ve vnitřní oblasti elipsy e, a lze jím vést dvě různé tečny, resp. jedinou (dvojnásobnou) tečnu, resp. jím nelze vést žádnou tečnu k dané elipse e.

Tečny k elipse daného směru

Příklad: K nenarýsované elipse e, která je dána hlavními a vedlejšími vrcholy, veďte tečny směru s (tj. rovnoběžné s přímkou s).
	zadání: hlavní vrcholy A,B, vedlejší vrcholy C,D a směr s nejprve jsou doplněna ohniska F1,F2, pro něž platí |F1C|=|F2C|=a=|SA| podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí ležet také na kolmici k vedené ohniskem F2 kolmo k danému směru s kružnice g1 a přímka k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a) nyní již je možno vést tečny t,t' body P,P' kolmo k přímce k, tj. rovnoběžně se směrem s podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t'; navíc si body T,T' i tečny t,t' odpovídají ve středové souměrnosti o středu S na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována elipsa e, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež jsou rovnoběžné s daným směrem s
Diskuze: Řídicí kružnice g1(F1,2a) a přímka k, vedená ohniskem F2 kolmo k libovolně danému směru s, se vždy protínají právě ve dvou bodech, a úloha má tudíž vždy právě dvě řešení souměrná podle středu S elipsy e.

• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Verze pro tisk