• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Hyperbola

 Výklad

Definice a ohniskové vlastnosti

• hyperbola je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina má takovou polohu, že rovina s ní rovnoběžná jdoucí vrcholem protíná kuželovou plochu ve dvou různoběžných přímkách (nebo jinak: odchylka roviny řezu od osy je menší než odchylka povrchových přímek)
• hyperbola h je množinou všech bodů v dané rovině ρ, pro něž je absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od dvou různých pevných bodů F₁, F₂ rovna danému číslu 2a, které je menšíí než vzdálenost bodů F₁,F₂

Ohnisková definice hyperboly: h = { X; ||F1X| - |F2X|| = 2a, 0 < 2a < |F1F2| }
	F1,F2 ... ohniska; A,B ... (hlavní) vrcholy; S ... střed; o1 ... hlavní osa; platí |AB|=2a<|F1F2|; a=|SA| ... délka hlavní poloosy M1,M2,M3,M4 ... obecné body hyperboly u1,u2 ... asymptoty; o2 ... vedlejší osa; platí a2=e2-b2, kde b=|AU1| je délka vedlejší poloosy a e=|SF1|=|SU1| je excentricita hyperboly přímky F1M2,F2M2 ... průvodiče bodu M2; úhel ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnější úhel průvodičů; úhel_ω (a úhel k němu vrcholový) je tzv. vnitřní úhel průvodičů t ... tečna, n ... normála v bodě M2 (Věta 1) Q1,Q2 ... body souměrně sdružené s ohnisky podle tečny t (Věta 2); P1,P2 ... paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu t (Věta 3) g1(F1,2a),g2(F2,2a) ... řídicí kružnice; v(S,a) ... vrcholová kružnice 1 ... střed hyperoskulační kružnice ve vrcholu A hyperbola h

Obecné body hyperboly
Pro bod M₁ platí: ||F₁M₁| - |F₂M₁|| = ||RB| - |RA|| = |AB| = 2a. Podle ohniskové definice tedy bod M₁ patří hyperbole h. Podobně pro body M₂,M₃,M₄. Konstrukce obecných bodů tak lze snadno provést pomocí kružítka.

Asymptoty hyperboly
Jestliže na kolmici k hlavní ose vedené vrcholem A sestrojíme body U₁,U₂, pro které platí |SU₁| = |SU₂| = e, získáme spojením těchto bodů se středem S hyperboly tzv. asymptoty u₁,u₂. Tyto dvě přímky jsou tečnami hyperboly v nekonečnu. Hyperbola se k nim tedy směrem od vrcholů stále přibližuje, avšak dotyk nastává až v jejich nevlastních bodech. Pomocí obou asymptot tak lze lépe znázornit průběh hyperboly bez nutnosti konstrukce dalších bodů.

Body souměrně sdružené podle tečen s ohnisky
Z osové souměrnosti průvodičů bodu M₂ podle tečny t (Věta 1) plyne, že bod Q₁ resp. Q₂ leží na průvodiči F₁M₂ resp. F₂M₂ a je tedy |F₂M₂| = |Q₁M₂| resp. |F₁M₂| = |Q₂M₂|; tudíž platí: |F₁Q₁| = ||F₁M₂| - |M₂Q₁|| = ||F₁M₂| - |M₂F₂|| = 2a resp. |F₂Q₂| = ||F₂M₂| - |M₂Q₂|| = ||F₂M₂| - |M₂F₁|| = 2a; stejný výsledek vyjde pro kterýkoliv jiný bod hyperboly, což shrnuje Věta 2.

Paty kolmic spuštěných z ohnisek na tečny
Body S,P₁ jsou po řadě středy úseček F₁F₂,F₂Q₁, takže úsečka SP₁ tvoří tzv. střední příčku v trojúhelníku F₁F₂Q₁, je tedy rovnoběžná se stranou F₁Q₁ a pro její délku platí: |SP₁| = |F₁Q₁| / 2 = a; analogicky lze odvodit |SP₂| = |F₂Q₂| / 2 = a; totéž obecně platí pro libovolnou patu kolmice spuštěné z některého ohniska hyperboly na některou její tečnu, což je shrnuto ve Větě 3.

Střed hyperoskulační kružnice
Bod 1 se setrojí takto: stačí bodem U₁ vést komici k asymptotě u₁ a určit její průsečík s hlavní osou o₁ hyperboly. Sestrojený bod 1 je pak středem tzv. hyperoskulační kružnice ve vrcholu A. Střed hyperoskulační kružnice ve zbývajícím vrcholu B se sestrojí snadno díky souměrnosti hyperboly. Oblouky hyperoskulačních kružnic v blízkém okolí vrcholů přibližně nahrazují průběh hyperboly a slouží tak k jejímu přesnějšímu vyrýsování, i když u hyperboly nemá jejich konstrukce takový význam jako u elipsy.

Věta 1

Věta 2

Věta 3

Ilustrace k Větám 1 až 3

• tažením červeného obdélníku v dolní části interaktivního obrázku lze pohybovat komplexem několika bodů a přímek...

 Řešené úlohy

Tečny k hyperbole daným bodem

Příklad: Bodem X veďte tečny k nenarýsované hyperbole h, která je dána svými vrcholy a ohnisky.
	zadání: vrcholy A,B, ohniska F1,F2 a bod X podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí mít od bodu X vzdálenost |F2X|, a leží tudíž také na kružnici k(X,|F2X|) kružnice g1,k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a) nyní již je možno sestrojit tečny t=XP,t'=XP' k nenarýsované hyperbole h podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t' pro přesnější vyrýsování jsou doplněny asymptoty u1=SU1,u2=SU2 na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována hyperbola h, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež procházejí daným bodem X
Diskuze: Pokud se kružnice g1(F1,2a),k(X,|XF2|) protínají ve dvou bodech, resp. se dotýkají v jednom bodě, resp. nemají žádný společný bod, pak bod X leží ve vnější oblasti hyperboly h, resp. bod X je bodem hyperboly h, resp. bod X leží ve vnitřní oblasti hyperboly h, a lze jím vést dvě různé tečny, resp. jedinou (dvojnásobnou) tečnu, resp. jím nelze vést žádnou tečnu k dané hyperbole h.

Tečny k hyperbole daného směru

Příklad: K nenarýsované hyperbole h, která je dána svými vrcholy a ohnisky, veďte tečny směru s (tj. rovnoběžné s přímkou s).
	zadání: vrcholy A,B, ohniska F1,F2 a směr s podle Věty 2 leží body souměrně sdružené s ohniskem F2 podle hledaných tečen na řídicí kružnici g1(F1,2a=|AB|); současně musí ležet také na kolmici k vedené ohniskem F2 kolmo k danému směru s kružnice g1 a přímka k se protínají v bodech Q,Q' a středy P,P' úseček F2Q,F2Q' jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F2 na hledané tečny; podle Věty 3 leží body P,P' také na vrcholové kružnici v(S,a) nyní již je možno vést tečny t,t' body P,P' kolmo k přímce k, tj. rovnoběžně se směrem s podle výše uvedených vlastností leží body T,T' dotyku na průvodičích F1Q,F1Q' a na příslušných tečnách t,t'; navíc si body T,T' i tečny t,t' odpovídají ve středové souměrnosti o středu S pro přesnější vyrýsování jsou doplněny asymptoty u1=SU1,u2=SU2 na závěr jsou sestrojeny hyperoskulační kružnice ve vrcholech a vyrýsována hyperbola h, která se v bodech T,T' dotýká tečen t,t', jež jsou rovnoběžné s daným směrem s
Diskuze: Je-li přímka k, vedená ohniskem F2 kolmo k danému směru s, sečnou, resp. tečnou, resp. nesečnou, řídicí kružnice g1(F1,2a), pak lze daným směrem vést dvě různé tečny, resp. jedinou tečnu (asymptotu), resp. žádnou tečnu, k dané hyperbole h.

• Úvod > Obsah > Křivky > Kuželosečky >

Verze pro tisk