• Úvod > Obsah > Planimetrie >

Mocnost bodu ke kružnici

 Výklad

Definice a základní vlastnosti

• nechť je v rovině dána kružnice k(S,r) a bod M; mocností bodu M ke kružnici k nazýváme reálné číslo m=v²-r², kde v=|MS|
• m>0 resp. m=0 resp. m<0, právě když bod M leží ve vnější oblasti kružnice k resp. bod M leží na kružnici k resp. bod M leží ve vnitřní oblasti kružnice k
• leží-li bod M ve vnější oblasti kružnice k a T je bodem dotyku tečny t vedené z bodu M ke kružnici k, pak platí |MT|²=v²-r²=m (plyne z Pythagorovy věty, viz obr. a)
• pro průsečíky A,B kružnice k a její libovolné sečny vedené bodem M platí |MA|.|MB|=m resp. |MA|.|MB|=-m, je-li bod M ve vnější resp. ve vnitřní oblasti kružnice k
  1. pro sečnu jdoucí středem S kružnice k je tvrzení zřejmé (viz obr. b): |MA|.|MB|=(v+r).(v-r)=v²-r²=m nebo |MA|.|MB|=(r+v).(r-v)=r²-v²=-m
  2. jestliže jiná sečna vedená bodem M protíná kružnici k v bodech A',B' (viz obr. c), pak jsou trojúhelníky A'BM a AB'M podobné (podle věty uu) a tudíž platí: |MA'|/|MA|=|MB|/|MB'| a odtud |MA'|.|MB'|=|MA|.|MB|

Chordála a potenční střed

• dá se ukázat, že množinou všech bodů, které mají stejnou mocnost ke dvěma různým nesoustředným kružnicím k₁(S₁,r₁),k₂(S₂,r₂) je přímka p kolmá ke středné s=S₁S₂ daných kružnic; tato přímka se nazývá chordála kružnic k₁,k₂
• konstrukci chordály ukazují následující obrázky
  1. kružnice k₁,k₂ se protínají v bodech A,B, jež mají stejnou mocnost m=0 k oběma kružnicím; je tudíž chordála p=AB
  2. kružnice k₁,k₂ se dotýkají v bodě T, který má k oběma stejnou mocnost m=0; chordálou je tedy společná tečna p v bodě T
  3. kružnice k₁,k₂ nemají žádný společný bod; zvolme pomocnou kružnici k'(S',r'), která protíná obě kružnice k₁,k₂, a sestrojme chordálu p₁ kružnic k',k₁ a chordálu p₂ kružnic k',k₂; průsečík P přímek p₁,p₂ má pak stejnou mocnost ke všem třem kružnicím k',k₁,k₂, je to jejich tzv. potenční střed; bodem P pak kolmo k přímce S₁S₂ prochází také chordála p kružnic k₁,k₂

 Řešené úlohy

• Úvod > Obsah > Planimetrie >

Verze pro tisk